Main Page


Cube 21 / Square-1

Řešení

podle svých poznámek sepsal Josef Jelínek


Uvědomuji si, že některé moje formulace mohou být težko srozumitelné, ale pokud si příslušné věty přečtete vícekrát, případně obětujete nějaký čas na poslání dotazu na můj e-mail, pak věřím, že vám bude tento návod k užitku a nic vám nebude bránit v jeho používání. (Možná si budete muset tuto větu také přečíst vícekrát. :-))

Úvod

Hlavolam Cube 21 (mimo ČR známý jako Square-1) patří do skupiny hlavolamů, jejímž nejznámějším zástupcem je Rubikova kostka. Z této skupiny se ovšem vymyká dvěma věcmi:

Výjimečná je ale právě kombinace těchto vlastnosti, která dělá z tohoto hlavolamu něco neobvyklého.

Pro matematiky je také zajímavé, že (narozdíl od Rubikovy kostky a většiny ostatních podobných hlavolamů) stavy Cube 21 vzniklé posloupnostmi tahů s operací "spojení" posloupností netvoří grupu (to je ale šok, co... :-)), tím mimo jiné komplikuje optimální počítačové řešení tohoto hlavolamu (ačkoli počítačové řešení tohoto hlavolamu je stále o dost jednodušší než u subjektivně podobně obtížných hlavolamů: Rubikova kostka 4x4x4, 5x5x5, Megaminx, atd.).

Zápis postupů

Následující obrázek ukazuje, jak hlavolam vypadá ve složeném stavu. Barvy tohoto hlavolamu nejsou nijak standardizovány, tudíž váš hlavolam může mít jiné obarvení jednotlivých stěn.

Hlavolam se dá rozdělit na 3 vrstvy: horní, střední a dolní. Střední vstva se skládá ze dvou polovin, které se dají vzájemně otáčet a vytvářejí dohromady dva různé tvary, viz. obr.:

     

Horní a dolní vrstva je rozdělena na více části, které se mohou přesouvat mezi těmito vrstvami a vzajemně se prohazovat. Jsou dva druhy kostiček v těchto vrstvách. Kostičky, které mají trojúhelníkovou podstavu a jsou menší, nazýváme hranami. Větší kostičky, které mají čtyřúhelníkovou podstavu, nazýváme rohy. Pokud použijeme "hodinářskou" terminologii, pak hrany zabírají ve vrstvě 1 hodinu (30 stupňů) a rohy 2 hodiny (60 stupňů). V každé z vrstev může být libovolná kombinace rohů a hran, které dávají v součtu 12 hodin (360 stupňů). Je také neobvyklé u podobných hlavolamů, aby libovolná konfigurace hlavolamu byla dosažitelná standardním točením ze složeného stavu. (Rubikova kostka má pouze jednu dvanáctinu stavů dosažitelných ze stavu složeného bez mechanického rozebrání - neuvažuji přelepování nálepek, to byste své kostce přece neudělali... :-))

Pro popsání tahu pro tento hlavolam je třeba vytvořit notaci (způsob zápisu), jak zapisovat jednotlivé tahy a jejich posloupnosti. To ovšem není tak jednoduché, jak by se na první pohled mohlo zdát. Dosud neexistuje všeobecně přijatá a uznávaná notace (jakou je například u Rubikovy kostky takzvaná Singmasterova notace). Jistě, existují notace používané již delší dobu, ale z mého pohledu jsou většinou dost těžko použitelné. Po jisté diskuzi jsem vytvořil notaci vlastní, u které jsem se snažil podchytit většinu požadavků vyplývajících z mé zkušenosti (těch notací bylo během vývoje více; tato je poslední).

Samozřejmě se všechny tahy dají také znázornit pomocí obrázků, což by pomohlo především úplným nováčkům, kteří nemají dost trpělivosti ani na to, aby se naučili způsob textového zápisu z tohoto návodu. Těmto lidem bych chtěl říci, že pokud se budou chtít naučit skládat tento hlavolam, budou jistou trpělivost potřebovat. Navíc takový grafický způsob zápisu je velice pracný na tvoření, težko textově sdělitelný (přes e-mail) a dosti neúsporný.

Požadavky na notaci (způsob zápisu) by se daly shrnout asi do těchto bodů:

Protože jsem pravák, držím hlavolam tak, že střední vrstvu držim v levé ruce tak, aby byly horní a spodní vrstvy volně otočné. Pravou ruku potom používám k otáčení horní a dolní vrstvy a zároveň k překlápění pravé poloviny hlavolamu (pro rychlostní skládání však používám prsty obou rukou pro natáčení horní a dolní vrstvy). Zvykl jsem si na držení, kde palec levé ruky je na delší části dělené strany střední vrstvy; tato delší část je tedy vlevo a natočená ke mně.

Obrázek ukazuje způsob překlopení hlavolamu v zakladní poloze. Levá část zůstává na místě, pravá je překlopena pravou rukou o 180 stupňů "nohama vzhůru"; bílá značka ukazuje místo, kde držím palec levé ruky.

  přechází na  

Posloupnosti tahů rozděluji na jednotlivé (právě představené) překlopení poloviny hlavolamu. Každý tah v posloupnosti se skládá ze dvojice číslic a/nebo písmen 'C' nebo 'E'. Číslice znamenají počet natočení ve směru hodinových ručiček při pohledu shora (při pohledu shora pro horní i dolní vrstvu!). Krok pootočení je stejný jako u klasických hodin, 6 tedy znamená otočení o 180 stupňů (jedna půlotočka). Aby byl zápis úspornější, píši místo 10 (otočení o 10 hodin po směru neboli 2 hodiny proti směru hodinových ručiček) písmeno 'C' (1 roh - Corner) a místo 11 písmeno 'E' (1 hrana - Edge). Protože tento zápis potřebuje pouze jednociferná čísla a případně písmena 'C' a 'E', nepíši mezi dvojicí číslic/písmen mezery. Natočení ve směru hodinových ručiček při pohledu shora budu nazývat kladným směrem a opačný směr směrem záporným.

Směr otáčení kladným směrem horní i dolní vrstvou je znázorněno na následujícím obrázku šipkami:

Překlopení (pravá polovina kostky je obrácena o 180 stupňů) je značeno svislou čarou (|).

Příklad: přehození dvou rohů vpravo nahoře, když je hlavolam ve tvaru kostky

 | 90 | 30 | 33 | 30 | 90 | 09 

Tato posloupnost tahů se provede následujícím způsobem:

|- překlopení pravé poloviny kostky o jednu půlotočku (nohama vzhůru)
90- pootočení horní vrstvy o čtvrtotočku proti směru hodinových ručiček (při pohledu shora)
|- překlopení pravé poloviny "kostky" o jednu půlotočku (nohama vzhůru)
30- pootočení horní vrstvy o čtvrtotočku po směru hodinových ručiček (při pohledu shora)
|- překlopení pravé poloviny "kostky" o jednu půlotočku (nohama vzhůru)
33- pootočení horní i dolní vrstvy o čtvrtotočku po směru hodinových ručiček (při pohledu shora)
|- překlopení pravé poloviny "kostky" o jednu půlotočku (nohama vzhůru)
30- pootočení horní vrstvy o čtvrtotočku po směru hodinových ručiček (při pohledu shora)
|- překlopení pravé poloviny "kostky" o jednu půlotočku (nohama vzhůru)
90- pootočení horní vrstvy o čtvrtotočku proti směru hodinových ručiček (při pohledu shora)
|- překlopení pravé poloviny "kostky" o jednu půlotočku (nohama vzhůru)
09- pootočení dolní vrstvy o čtvrtotočku proti směru hodinových ručiček (při pohledu shora)

Dobrá věc je, že pokud chcete přehodit dva rohy vpravo dole, můžete v notaci pouze zaměnit číslice v párech. Takto můžete upravit všechny algoritmy tak, aby pracovaly pro situace, kdy v dolní vrstvě je situace, jaká byla puvodně v horní a naopak.

 | 09 | 03 | 33 | 03 | 09 | 90 

Poslední natočení horní a dolní vstvy jsou většinou nedůležité a jsou stejně zrušeny natočením horní a dolní vrstvy pro provedení následujícího kroku. Proto tato poslední natočení budu psát případně do závorek.

Protože postup je rozdělen na dvě části, kde první se zabývá složením libovolného tvaru do kostky a druhá tím, jak přeházet barvy tak, aby byl zároveň zachován tvar kostky, je dobré zjednodušit práci v této druhé fázi. V této druhé fázi řešení nastávají dva případy (pro výše popsané držení):

 -  horní vrstva je pootočena o 1 hodinu (30 stupňů) v záporném směru (nebo-li proti směru hodinových ručiček při pohledu shora)  
 -  dolní vrstva je pootočena o 1 hodinu (30 stupňů) v záporném směru (nebo-li proti směru hodinových ručiček při pohledu shora)  

Natočení vrstev je vztaženo k základnímu tvaru kostky.

Jako přiklad lze uvést posloupnost tahů pro přehození přední hrany se zadní v horní i dolní vrstvě.

 e0 | 7e | 51 | (70) 

Ačkoli tato posloupnost tahů stále zachovává tvar kostky, není úplně jednoduché ji následovat. Přitom stále používáme otočky o 3 hodiny s dočasným vychýlením o 1 hodinu oběma směry a vždy jsou horní a dolní vrstva vzájemně pootočeny o 1 hodinu (to si vyzkoušejte sami). Nápad je takový, že by bylo přehlednější, kdyby otočky byly udávany v násobcích 3 hodin (0, 3, 6, 9) s tím, že případné vychýlení se v zápisu podchytí různými druhy překlopení. Druhy překlopení zachovávající čtvercový tvar obou vrstev jsou 2 a uvedli jsme je již dříve. Místo svislé čárky (|) budeme používat lomítko (/) a zpětné lomítko (\).

Lomítko znamená pootočení horní vrstvy o 1 hodinu záporným směrem těsně před překlopením a následné překlopení ("|"). Zpětné lomítko znamená pootočení dolní vrstvy o 1 hodinu záporným směrem těsně před překlopením a následné překlopení ("|"). Nastavení kostky před překlopením pro "/" a "\" je ukázáno v následující tabulce.

/ \

Po každém překlopení vraťte kostku do základního tvaru (vraťte zpět to předešlé pootočení). (Toto vracení nemusíte provádět, protože následující tah stejně většinou nejaké natočení vyžaduje, ale je dobré o tom takto uvažovat. S praxí už nad tím nebudete muset nijak zvlášť přemýšlet.)

Příklad: předchozí příklad může být zjednodušen na:

 / 60 \ 60 / (60) 

Pokud tuto posloupnost tahů provedete na složené kostce, zjistíte, že se nejenom přehodily příslušné hrany, ale střední vrstva přestala být čtvercová. Toho se však nemusíte zaleknout, protože náprava je velice jednoduchá (stačí provést | 60 | 60 |). Tuto posloupnost můžeme provést také jinak:

 / 00 \ 60 \ 00 / (60) 

Zde můžeme pro zjednodušení vynechat všechny dvojice 00, tudíž ji lze zjednodušit na:

 / \ 60 \ / (60) 

Nyní by již zápis mohl vypadat jasněji (nebo alespoň hezčeji).

Řešení

Metoda se dá rozdělit do těchto kroků:

  1. Složení hlavolamu do tvaru kostky
  2. Umístění rohu do jim příslušejících vrstev
  3. Umístění hran do jim příslušejících vrstev
  4. Umístění rohu do vzájemné správných pozic v obou vrstvách
  5. Umístění hran na správná místa:
    1. umisťování hran postupně na správná místa a pokud je zjištěn problém parity (vysvětleno dále), je odstraněn
    2. dokončení umístění hran
  6. Případné opravení střední vrstvy

Poznámky:

Na všech následujících obrázcích první tvar odpovídá horní vrstve a druhý tvar dolní vrstvě tak, jak je vidět, když hlavolam otočíme "vzhůru nohama", přičemž zachováme pravou stranu vpravo a levou vlevo.

Odstíny použité v následujících obrázcích mají tento význam:

Pokud je v následujícím textu zmiňován tvar kostky, pak je vetšinou míněn tvar, kdy horní i dolní vrstva ma tvar čtverce a na střední vrstvě zpravidla nezáleží. Střední vrstva se dá složit do tvaru čtverce jednoduchou posloupností tahů (aniž by se jakkoli rozházely ostatní kostičky), která je součástí posledního kroku. Tudíž o tvar střední vrstvy se až do posledního kroku nemusíte starat.

Krok 1 - Tvar kostky

Toto je "nejzábavnější" krok a je nejlépe, pokud jej vymyslíte sami. Na první pokus to vypadá možná složitě, ale časem zjistíte, že tvary se docela často opakují a najdete systém, kterým dokážete dostat hlavolam do kostky. Tento systém není jednoduché popsat a každý může vymyslet svůj vlastní. Je pravda, že k optimálnímu postupu budete mít asi daleko, ale opravdu stojí za to, aby si tento krok každý prošel sám.

Následně, pokud si budete potřebovat vylepšit některé situace, se můžete podívat do diagramu uvedených dále, které shrnují všechny situace (dohromady 65 s tím, že zrcadlově symetrické varianty nejsou uvedeny), které mohou nastat. Tabulka vždy uvádí situaci (číslo a obrázek), jak má proběhnout překlopení, číslo situace, do které se po překlopení dostanete a také minimální počet překlopení, které zbývají do tvaru kostky.

Jak je vidět, každá situace vyžaduje maximálně 7 překlopení s tím, že průmerně potřebujete tak maximálně 5 překlopení. Tak efektivního skládání je samozřejmě velice težké dosáhnout, ale to potřebujete pouze tehdy, pokud chcete být velice rychlí a oslňovat okolí.

Dobrá a používaná alternativa je, že se naučíte složit do kostky všechny tvary, které mají jednu vrstvu obsahující pouze rohy (vypadá jako šesticípá hvězda). Těchto situací je jen několik. Získaní těchto tvaru z jakéhokoli jiného je mnohem jednodušší, než složit přímo tvar kostky.

Tabulka pro řešení všech možných tvarových kombinací

PS soubor vhodný pro tisk (6kB)

PDF soubor vhodný pro tisk (139kB)

Krok 2 - Rohy do příslušných vrstev

Nyní máme hlavolam složený ve tvaru kostky, ale stále nám s největší pravděpodobností zbývá přeházet hrany a rohy tak, aby byly správně složeny i barvy. To se dá až na jednu výjimku (problém parity - viz. dále) udělat, aniž bychom porušili tvar kostky.

Tento krok je vcelku intuitivni. Musíme udělat dva přilehlé páry rohů (0, 1 nebo 2 překlopení) a následně tyto páry spojit v příslušné vrstvě dalším překlopením. Pokud náhodou (nebo omylem) docílíme toho, že všechny kostičky z horní vrstvy máme ve spodní vrstvě a naopak, pak můžeme situaci jednoduše napravit posloupností "| 66 |".

Potřebné posloupnosti tahů jsou následující (vrstvy jsou znázorněny již správně pootočeny pro první překlopení):

/ / 39 / / 30 / / 30 / 30 /

Krok 3 - Hrany do příslušných vrstev

Nyní, když máme rohy ve správných vrstvách, budeme přesouvat do správných vrstev i hrany. O ty jsme se zatím moc nestarali. Tento krok se dá prohodit s krokem následujícím, protože dále uvedené posloupnosti tahů nenarušují situaci dosaženou v dalším kroku (neovlivňují rohy). Tyto posloupnosti tahů jsem vybíral z několika set dalších tak, aby byly co nejjednodušší a nejsnáze zapamatovatelné. (To platí i o všech následujících použitých posloupnostech tahů.)

Všechny posloupnosti tahů potřebné v tomto kroku jsou:

/ \ / 30 / \ 90 / / 90 / 30 / \ 90 / 30 /



/ 30 / 90 / \ 30 \ 90 / \ 30 / 30 / \ 90 / 90 / / \ 33 / \

Pokud by vám dělalo problémy si zapamatovat všechny posloupnosti tahů, pak tento krok lze zvládnout pouze pomocí třetí posloupnosti. Pokud byste chtěli být rychlejší, pak se mi osvedčilo, že si stačí zapamatovat první tři posloupnosti a zbylé situace řešit jejich kombinací. Čtvrtá situace je kombinace první a třetí posloupnosti stejně jako pátá situace. Šestá situace je kombinace první a následně opět první posloupnosti.

Třetí, čtvrtá a pátá posloupnost nejsou optimální vzhledem k počtu překlopení, ale jsou mnohem hezčí, než kterákoli z optimálních posloupností (také jejich provedení není o mnoho pomalejší).

Krok 4 - Rohy do vzájemně správných pozic

Jak již bylo řečeno, tento krok může být proveden již před předchozím krokem, protože se navzájem neovlivňují, ale mně se osvedčilo toto pořadí.

Tento krok může být proveden pouze tahy, které zachovávají tvar kostky, ale v mnoha směrech je lepší provést tento krok takovými tahy, které nezachovávají krychlový tvar, protože se vrstvy lépe zarovnávají pro překlápění a aktuální tvar zároveň slouží jako vizuální kontrola momentální správnosti provádění posloupnosti tahů. Tyto posloupnosti tahů používají pouze otáčení vrstev o násobky 3 hodin (90 stupňů), tudíž počet tvarů, které se mohou objevit, je velice omezený.

Používám zde následujících pět posloupností tahů, které pokrývají všechny možnosti, ale stačí vam pouze první dva (pro každou vrstvu zvlášť). Na druhou stranu jsou první dvě posloupnosti nejsložitější, proto naučení dalších už nepřináší příliš mnoho námahy navíc.

| 90 | 30 | 33 | 30 | 90 | (09) | 93 | 30 | 93 | 30 | 93 | (96)



| 90 | 93 | 90 | (66) | 33 | 99 | | 30 | 90 | 30 | 90 |

Je dobré ještě připomenout, že i když tabulka na první pohled neukazuje všechny možnosti (například prohození dvou rohů ve spodní vrstvě), není problém každou posloupnost tahů jednoduše upravit, aby fungovala na spodní vrstvu tak, jako předtim na horní (a naopak) pouze tím, že se prohodí číslice ve všech dvojicích (první posloupnost tahů, která by ale tentokrát měla přehazovat dva dolní přilehlé rohy vpravo potom vypadá: | 09 | 03 | 33 | 03 | 09 | (90)).

Krok 5 - Hrany do správných pozic

Nyní již máme hlavolam téměř složený. Jediné, co zbývá, je přehodit hrany na správné pozice. Vzhledem k tomu, že s rohy již nechceme hýbat, máme zde velmi mnoho možností, jak mohou hrany být mezi sebou prohozeny (576, ale mnoho je jich symetrických). Naučit se všechny vyžaduje opravdu nadlidské usilí. Proto sám používám úplně opačný přístup. Vybral jsem pouze 2 posloupnosti tahů, jejichž vzájemným kombinováním tento krok dokončím. Tyto posloupnosti jsem vybral i s ohledem na to, že hodně optimálních posloupností pro ostatní situace je jejich kombinací. Obě posloupnosti tahů přehazují dvojici hran v horní vrstvě a dvojici v dolní vrstvě.

/ 60 \ 60 / / 90 / \ 30 /

Všechny tahy v těchto posloupnostech zachovávají krychlový tvar. Je zde ovšem jeden problém. V 50% případů získáte po provedení předchozích kroků situaci, kterou zatím neumíte s uvedenými posloupnostmi vyřešit. Jedná se o prohození pouze dvou hran. Této situaci se říká problém parity, protože umíme prohazovat hrany pouze v párech po dvou (vždy dvě a dvě současně), a tím je nemožné tuto situaci jednoduše vyřešit. Zde je potřeba kostku jakoby rozházet a znovu složit tak, aby problém parity byl vyřešen (nelze to udělat v krychlovém tvaru).

Nejjednodušší posloupnost tahů, kterou jsem objevil a která vyřeší problém parity tím, že prohodí (cyklicky) pouze hrany horní vrstvy, je:

| 39 | 2E | C2 | 20 | C2 | 92 | 39 | E3 | C2 | (3C)

Poslední dvě překlopení jsou ve tvaru kostky a jen opravují rozházené barvy.

Nyní již budete moci dokončit umístění hran na správná místa mezi příslušnými rohy použitím předešlých posloupností tahů pro přehození hran.

Krok 6 - Opravení střední vrstvy

Pokud nastane situace, že celý hlavolam je prakticky složený, pouze prostřední vrstva nemá čtvercovy tvar, pak proveďte posloupnost:

 | 60 | 60 | (60) 

Ovšem pokud u poslední posloupnosti, kterou při skládání provádíte, myslíte trochu dopředu, můžete si tuto opravu ušetřit. Pokud vám zbývá pouze jedno překlopení pro složení barev a střední vrstva má čtvercový tvar, pak po následném překlopení tento tvar již mít nebude. Je tedy třeba přidat ještě jedno překlopení. Jak to ale udělat? Těsně před posledním překlopením uděláte tah "60", nasledně provedete překlopení, dostanete se do prakticky stejné situace s tím, že nyní již strední vrstva nebude mít tvar čtverce. Následně tedy uděláte znovu tah "60" a provedete překlopení. Závěr tedy nakonec vypadá, že místo posledního překlopení ("|") uděláte "60 | 60 |".

Další situace, která může nastat je, že kostka je složená, ale barvy prostřední vrstvy se neslučují s barvami horní a dolní vrstvy - vznikají dva pruhy na protilehlých stranách. Tato situace je způsobena tím, že jsou prohozeny horní a dolní vrstva. Náprava je velice jednoduchá, stačí provést:

 | 66 | (11) 

Nyní by váš hlavolam měl být ve tvaru, který je velice symetrický a fádní, proto je potřeba jej ihned trochu oživit a složit nějaký zajímavější tvar.

Příjemnou zábavu.


Podle mého názoru je toto řešení docela jednoduché a přitom dostatečně rychlé, tudíž může být použito i pro rychlostní skládání. To ale už vyžaduje hodně cviku a také nacvičení různých "prstových triků", které umožní s hlavolamem manipulovat velikou rychlostí (jedno překlopení za méně než sekundu).

S prakticky nezměněným řešením jsem vyhrál mistrovství ČR ve skládání Cube 21 konané v Praze v roce 2000.

Veškeré připomínky jsou vítány.


Ing. Josef Jelínek

Poslední změny 7. 3. 2004


Main Page